4 Формула Коші

4.4.3. Формула Коші

Нехай EMBED Equation.3 — фундаментальна система, нормована при EMBED Equation.3 тобто EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 — одинична матриця. Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд

EMBED Equation.3 .

Вважаючи EMBED Equation.3 невідомою вектором-функцією і повторюючи викладення методу варіації довільної постійний, одержимо

EMBED Equation.3 .

Звідси

EMBED Equation.3 .

Проінтегруємо отриманий вираз

EMBED Equation.3 .

Тут EMBED Equation.3 — вектор із сталих, що отриманий при інтегруванні системи. Підставивши у вихідний вираз, одержимо:

EMBED Equation.3

Якщо EMBED Equation.3 — фундаментальна матриця, нормована при EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 . Звідси

EMBED Equation.3

Підставивши початкові значення EMBED Equation.3 і з огляду на те, що EMBED Equation.3 , одержимо

EMBED Equation.3 -

формулу Коші, загального розв’язку неоднорідного рівняння. Частинний розв’язок неоднорідного рівняння, що задовольняє нульовій початковій умові, має вид

EMBED Equation.3 .

Якщо система з сталою матрицею EMBED Equation.3 , то

EMBED Equation.3 .

І формула Коші має вигляд

EMBED Equation.3 .

Предыдущий:

Следующий: