1 Інтегральне рівняння з виродженим ядром

§4.1 Інтегральне рівняння з виродженим ядром

Ядро EMBED Equation.3 інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду

EMBED Equation.3 (4.1)

називається виродженим, якщо воно є сумою скінченного числа добутків функцій тільки від x на функції від аргументу t, тобто якщо ядро має вигляд

EMBED Equation.3 , (4.2)

функції EMBED Equation.3 будемо вважати неперервними у квадраті EMBED Equation.3 та лінійно-незалежними між собою.

Розглянемо інтегральне рівняння Фредгольма (4.1) із виродженим ядром (4.2)

EMBED Equation.3 , (4.3)

Розв′язоки ϕ інтегрального рівняння (4.3) будемо шукати в класі EMBED Equation.3 . Покажемо, що це рівняння зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь і тому їх можна досліджувати методами лінійної алгебри.

Рівняння (4.3) запишемо у вигляді

EMBED Equation.3 , (4.4)

де

EMBED Equation.3 (4.5)

− невідомі числа. Помножимо рівність (4.4) на EMBED Equation.3 та проінтегруємо на EMBED Equation.3 . Враховуючи (4.5), одержимо наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення чисел ck:

EMBED Equation.3 . (4.6)

Позначимо

EMBED Equation.3 . (4.7)

Тоді система (4.6) має вигляд

EMBED Equation.3 . (4.8)

Нехай EMBED Equation.3 . Систему (4.8) запишемо в матричній формі EMBED Equation.3 .

Покажемо, що інтегральне рівняння (4.3) і алгебраїчні рівняння (4.8) еквівалентні. Дійсно, якщо EMBED Equation.3 − розв′язок рівняння (4.4), то числа EMBED Equation.3 задовольняють систему (4.8).

Якщо числа EMBED Equation.3 відповідають системі (4.6), то функція EMBED Equation.3 , що побудована за формулою (4.4), неперервна на EMBED Equation.3 і на підставі (4.7) задовольняє рівняння (4.3):

EMBED Equation.3 .

Нехай EMBED Equation.3 − визначник системи (4.8),

EMBED Equation.3 , (4.9)

EMBED Equation.3 − алгебраїчні доповнення матриці EMBED Equation.3 . Неважко бачити, що EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 − поліноми за λ. Припустимо, що число λ таке, що EMBED Equation.3 . За теоремою Крамера розв′язок алгебраїчної системи (4.8) єдиний і визначається формулою

EMBED Equation.3 . (4.10)

Підставимо розв′язок (4.10) у (4.4) і з урахуванням (4.7), одержимо розв′язок інтегрального рівняння (4.3) при EMBED Equation.3 у вигляді

EMBED Equation.3 . (4.11)

З іншого боку, при достатньо малих λ ( EMBED Equation.3 ) цей розв′язок визначається за допомогою резольвенти EMBED Equation.3 .

Отже

EMBED Equation.3 . (4.12)

Таким чином, резольвента EMBED Equation.3 виродженого ядра є раціональною функцією.

Предыдущий:

Следующий: