1 Метод послідовних наближень

§2.1 Метод послідовних наближень

Розглянемо інтегральне рівняння Фредгольма 2-го роду

EMBED Equation.3 , (2.1)

де функція EMBED Equation.3 неперервна при EMBED Equation.3 ; а ядро EMBED Equation.3 неперервне в області EMBED Equation.3 .

В подальшому будемо використовувати норми функцій та скалярний добуток в просторах EMBED Equation.3 , які визначаються наступним чином

EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .

Інтегральний оператор K, що визначається формулою EMBED Equation.3 , з неперервним ядром EMBED Equation.3 відображує EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 є обмеженим і

EMBED Equation.3 , (2.2)

EMBED Equation.3 , (2.3)

EMBED Equation.3 , (2.4)

де EMBED Equation.3 .

Дійсно, нехай EMBED Equation.3 . Тоді f − абсолютно інтегрована функція на EMBED Equation.3 . Оскільки ядро EMBED Equation.3 неперервне в Ω, то функція EMBED Equation.3 неперервна на EMBED Equation.3 . Тому оператор K відображує EMBED Equation.3 і за нерівністю Коші-Буняковського є обмеженим:

EMBED Equation.3

Аналогічно доводяться нерівності (2.3) та (2.4).

Для розв’язування рівняння (2.1) застосуємо один з варіантів методу послідовних наближень − метод Пікара. Нехай

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (2.5)

Покажемо, що

EMBED Equation.3 (2.6)

де EMBED Equation.3 − степені оператора K.

Дійсно, Формула (2.6) справедлива коли k = 0: EMBED Equation.3 . Нехай (2.6) має місце при k = p. Обчислимо EMBED Equation.3 . Маємо

EMBED Equation.3 .

Таким чином формула (2.6) вірна при всіх k. Розв’язок (2.1) має вигляд EMBED Equation.3 .

За початкове наближення можна взяти і довільну функцію відповідного простору. Метод Пікара є частинним випадком методу послідовних наближень саме тому, що EMBED Equation.3 . Функції EMBED Equation.3 розглядаються як наближення до розв’язку рівняння (2.1).

Інтегральне рівняння Фредгольма (2.1) з неперервним ядром EMBED Equation.3 має єдиний розв’язок EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 для довільного вільного члена EMBED Equation.3 , коли EMBED Equation.3 . Цей розв’язок надається у вигляді регулярно збігаючогося ряду

EMBED Equation.3 (2.7)

і задовольняє оцінку

EMBED Equation.3 (2.8)

Якщо виконується умова EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 , то послідовність (2.5) збігається до розв’язку рівняння (2.1) в метриці EMBED Equation.3 . Величина похибки p-го наближення визначається нерівністю

EMBED Equation.3 , (2.9)

де EMBED Equation.3 .

Розглянемо інтегральне рівняння Вольтера 2-го роду

EMBED Equation.3 , (2.10)

де EMBED Equation.3 , ядро EMBED Equation.3 неперервне в замкнутому трикутнику EMBED Equation.3 . В цьому випадку EMBED Equation.3 , а інтегральний оператор EMBED Equation.3 відображує EMBED Equation.3 .

Розв’язок (2.10) будемо шукати методом послідовних наближень.

Інтегральне рівняння Вольтера (2.10) з неперервним ядром EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , при довільному λ має єдиний розв’язок в класі EMBED Equation.3 і розв’язок задовольняє оцінку

EMBED Equation.3 .(2.11)

Метод послідовних наближень може бути застосований до розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь Вольтера наступного вигляду

EMBED Equation.3 . (2.12)

Як у випадку лінійних інтегральних рівнянь, будемо шукати розв’язок (2.12) як границю послідовності EMBED Equation.3 , де, наприклад, EMBED Equation.3 , а елементи EMBED Equation.3 послідовно обчислюються за формулою

EMBED Equation.3 . (2.13)

Якщо EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 сумовні з квадратом і задовольняють умові

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , (2.14)

де функції EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 такі, що в області EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ,

то нелінійне інтегральне рівняння Вольтерра 2-го роду (2.12) має єдиний розв’язок EMBED Equation.3 , який визначається як границя EMBED Equation.3 , коли EMBED Equation.3 , де функції EMBED Equation.3 обчислюються за рекурентними формулами (2.13). За початкове наближення EMBED Equation.3 можна обрати будь-яку функцію з EMBED Equation.3 , для якої виконується умова (2.14).

Предыдущий:

Следующий: