1 Неоднорідні інтегральні рівняння із симетричним ядром

§7.1 Неоднорідні інтегральні рівняння із симетричним ядром

Має місце наступна теорема.

Теорема Гільберта-Шмідта. Якщо функція EMBED Equation.3 може бути надана у вигляді EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 − кусково-неперервна функція на [a,b], то функція EMBED Equation.3 зображується рядом Фур′є за власними функціями ядра EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 і цей ряд абсолютно і рівномірно збігається на відрізку [a,b].

Нехай в рівнянні

EMBED Equation.3 (7.1)

параметр λ не дорівнює ні одному з характеристичних чисел ядра EMBED Equation.3 . Тоді за першою теоремою Фредгольма це рівняння має єдиний розв′язок, який можна записати наступним чином:

EMBED Equation.3 , (7.2)

де EMBED Equation.3 .

За теоремою Гільберта-Шмідта функція EMBED Equation.3 може бути розвинута в ряд Фур′є за власними функціями ядра EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 . (7.3)

Підставимо в (7.1) замість функції EMBED Equation.3 її значення, яке визначається формулою (7.2), одержимо

EMBED Equation.3 ,

чи

EMBED Equation.3 .

Застосуємо теорему Гільберта-Шмідта до функції EMBED Equation.3

і враховуючи, що EMBED Equation.3 , одержимо

EMBED Equation.3 ,

звідси EMBED Equation.3 чи EMBED Equation.3 . Таким чином, шуканий розв′язок рівняння (7.1) задається наступним рядом

EMBED Equation.3 , (7.4)

який абсолютно та рівномірно збігається.

Розглянемо випадок, коли λ дорівнює одному з характеристичних чисел EMBED Equation.3 , якому відповідають власні функції

EMBED Equation.3 .

Легко побачити (з формул для визначення коефіцієнтів cp), повинні виконуватись рівності EMBED Equation.3 , чи

EMBED Equation.3 ,

тобто функція EMBED Equation.3 повинна бути ортогональною до всіх власних функцій ядра, які відповідають характеристичному числу EMBED Equation.3 . Прицьому коефіцієнти EMBED Equation.3 − довільні і розв′язок рівняння (7.1) можна записати наступним чином

EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 означає, що доданки сумуються за всіма значеннями р, крім EMBED Equation.3 .

У випадку виродженого ядра EMBED Equation.3 , у правих частинах формул (7.4) і (7.5) замість рядів будуть скінчені суми.

Якщо права частина рівняння (7.1), тобто функція EMBED Equation.3 ортогональна до всіх власних функцій EMBED Equation.3 ядра EMBED Equation.3 , то розв′язком (7.1) буде сама функція EMBED Equation.3 .

Предыдущий:

Следующий: