1 Особливі розв’язки

1.6.1. Особливі розв’язки

Визначення. Розв’язок EMBED Equation.3 диференціального рівняння, в кожній точці якого EMBED Equation.3 порушена єдиність розв’язку задачі Коші, називається особливим розв’язком.

Очевидно, особливі розв’язки треба шукати в тих точках області EMBED Equation.3 , де порушені умови теореми про існування й єдиність розв’язку задачі Коші. Але, оскільки умови теореми носять достатній характер, то їхнє не виконання для існування особливих розв’язків, носить необхідний характер. І точки EMBED Equation.3 області EMBED Equation.3 , у яких порушені умови теореми про існування та єдиність розв’язку диференціального рівняння, є лише «підозрілими» на особливі розв’язки.

Розглянемо рівняння

EMBED Equation.3 .

Неперервність EMBED Equation.3 в області EMBED Equation.3 звичайно виконується, і особливі розв’язки варто шукати там, де EMBED Equation.3 .

Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної

EMBED Equation.3 , умови неперервності EMBED Equation.3 й обмеженості EMBED Equation.3 звичайно виконуються. І особливі розв’язки варто шукати там, де задовольняються рівняння:

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 .

Вилучаючи із системи EMBED Equation.3 , одержимо EMBED Equation.3 . Однак не в кожній точці EMBED Equation.3 , у якій EMBED Equation.3 , порушується єдиність розв’язку, тому що умови теореми мають лише достатній характер і не є необхідними. Якщо ж яка-небудь гілка EMBED Equation.3 кривої EMBED Equation.3 є інтегральною кривою, то EMBED Equation.3 називається особливим розв’язком.

Таким чином, для знаходження особливого розв’язку рівняння EMBED Equation.3 треба

1) знайти EMBED Equation.3 — дискримінантну криву, обумовлену рівняннями EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

2) з’ясувати шляхом підстановки — є чи серед гілок EMBED Equation.3 — дискримінантної кривої інтегральні криві;

3) чи порушена умова одиничності в точках цих кривих.

Предыдущий:

Следующий: