1 Теореми Фредгольма

§6.1 Теореми Фредгольма

Розглянемо інтегральне рівняння Фредгольма з виродженим ядром 2-го роду

EMBED Equation.3 (6.1)

і спряжене до нього

EMBED Equation.3 , (6.2)

Рівняння (6.2) називають спряженим до рівняння (6.1), а ядро EMBED Equation.3 — ермітово-спряженим (союзним) до ядра EMBED Equation.3 . Як було показано, інтегральні рівняння Фредгольма другого роду зводяться до систем лінійних алгебраїчних систем. Отже питання про існування та єдиність розв’язку інтегральних рівнянь зводиться до питання про існування та єдиність розв’язку згаданих алгебраїчних рівнянь.

Для рівняння (6.2) запишемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Маємо

EMBED Equation.3 . (6.3)

де EMBED Equation.3 − невідомі числа.

Тоді

EMBED Equation.3 , (6.4)

EMBED Equation.3 . (6.5)

В §4 для (4.1) була одержана така система рівнянь

EMBED Equation.3 , (6.6)

де

EMBED Equation.3 (6.7)

Таким чином (6.4) є союзною до (6.6). Запишемо ( 6.4), (6.6) у матричній формі

EMBED Equation.3 , (6.8)

EMBED Equation.3 , (6.9)

де EMBED Equation.3 .

Ранги матриці та її транспонованої співпадають, тому

EMBED Equation.3 , (6.10)

EMBED Equation.3 .

Можуть виникнути два випадки

Якщо EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 і системи (6.4) і (6.6) однозначно розв’язувані при будь-яких a і b. Отже, рівняння (6.1), (6.2) також однозначно розв’язувані при довільних f і g. Ці розв’язки визначаються формулами (6.3) і (6.7) відповідно.

Якщо EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 і, на підставі (6.9), однорідні системи

EMBED Equation.3 , (6.10)

EMBED Equation.3 , (6.11)

мають по EMBED Equation.3 лінійно незалежних розв’язків

EMBED Equation.3 .

Однорідні інтегральні рівняння, що відповідають рівнянням (6.1) і (6.2):

EMBED Equation.3 , (6.12)

EMBED Equation.3 , (6.13)

також будуть мати по EMBED Equation.3 лінійно незалежних розв’язків.

EMBED Equation.3 . (6.14)

Для розв’язуваності системи (6.6) при EMBED Equation.3 необхідно і достатньо, щоб виконувались умови ортогональності EMBED Equation.3 .

Ці умови еквівалентні наступним: EMBED Equation.3 ,

Оскільки EMBED Equation.3 .

Таким чином, для інтегральних рівнянь з виродженим ядром мають місце теореми, які називаються теоремами Фредгольма.

Теорема 6.1. Якщо EMBED Equation.3 , то інтегральне рівняння (6.1) і спряжене до нього (6.2) мають розв’язки при довільних вільних членах f(x) і g(x).

Теорема 6.2. Якщо EMBED Equation.3 , то однорідні інтегральні рівняння (6.12) і (6.13) мають однакову кількість лінійно незалежних розв’язків, яка дорівнює EMBED Equation.3 , де q − ранг матриці EMBED Equation.3 .

Теорема 6.3. Якщо EMBED Equation.3 , то для розв’язуваності рівняння (6.1) необхідно і достатньо, щоб вільний член був ортогональний до всіх розв’язків EMBED Equation.3 союзного однорідного рівняння.

Теореми Фредгольма для інтегральних рівнянь з виродженим ядром можна поширити на інтегральні рівняння з довільним неперервним ядром, оскільки неперервне ядро можна надати у вигляді суми виродженого ядра і достатньо малого неперервного ядра. Це дає можливість звести відповідне інтегральне рівняння до інтегрального рівняння з виродженим ядром. Звідси випливає, що теореми Фредгольма мають місце для інтегральних рівнянь з неперервним ядром. Сукупність цих теорем називається альтернативою Фредгольма.

Альтернатива Фредгольма.

І. Якщо інтегральне рівняння (6.1) з неперервним ядром розв’язувано в EMBED Equation.3 при довільному вільному члені EMBED Equation.3 , то і союзне до нього рівняння (6.2) розв’язувано в EMBED Equation.3 при будь-якому вільному члені EMBED Equation.3 , при цьому ці розв’язки єдині.

ІІ. Якщо інтегральне рівняння (6.1) з неперервним ядром розв’язувано не при будь-якому вільному члені f, то

однорідні рівняння (6.12) і (6.13) мають однакове скінчене число лінійно незалежних розв’язків;

для розв’язуваності рівняння (6.1) необхідно і достатньо, щоб вільний член f був ортогональним до всіх розв’язків союзного ортогонального рівняння (6.13):

EMBED Equation.3 . (6.14)

При виконанні останньої умови рівняння (6.1) буде мати нескінченну множину розв’язків, оскільки цьому рівнянню буде задовольняти будь-яка функція вигляду EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 − розв’язок рівняння (6.1), а EMBED Equation.3 − розв’язок відповідного однорідного рівняння (6.12). Крім того, якщо EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 задовольняють рівнянню (6.1), то їх різниця EMBED Equation.3 є розв’язком відповідного однорідного рівняння (6.12).

Теореми Фредгольма мають важливе практичне значення. Замість того щоб доводити, що дане інтегральне рівняння (6.1) має розв’язок, часто буває легше довести, що відповідне однорідне рівняння (6.12) чи спряжене до нього рівняння (6.13) мають тільки тривіальні розв’язки. Звідси, на підставі альтернативи, випливає, що рівняння (6.1) має розв’язок

Зауваження 1. Якщо функції EMBED Equation.3 є розв’язками однорідного рівняння (6.12), то їх лінійна комбінація

EMBED Equation.3 ,

де EMBED Equation.3 − довільні сталі, також є розв’язком цього рівняння.

Зауваження 2. Якщо ядро EMBED Equation.3 інтегрального рівняння (6.1) симетрично, т.т. EMBED Equation.3 , то однорідне спряжене рівняння (6.13) співпадає з однорідним рівнянням (6.2).

Зауваження 3. У випадку неоднорідного інтегрального рівняння з виродженим ядром EMBED Equation.3 з умови (6.14) ортогональності правої частини цього рівняння дістанемо n рівностей

EMBED Equation.3 .

Предыдущий:

Следующий: