1 Характеристичні числа і власні функції ядра інтегрального рівн

§5.1 Характеристичні числа і власні функції ядра інтегрального рівняння

Розглянемо однорідне інтегральне рівняння Фредгольма

EMBED Equation.3 (5.1)

Воно, очевидно, має тривіальний розв′язок EMBED Equation.3 , який називають нульовим розв′язком. Але, як і в алгебраїчній спектральній задачі EMBED Equation.3 , задача полягає в побудові нетривіальних розв′язків EMBED Equation.3 рівняння (5.1) та відповідних цим розв′язкам значень EMBED Equation.3 параметра λ.

Значення параметра λ, при яких рівняння (5.1) має ненульові розв′язки EMBED Equation.3 , називаються характеристичними числами рівняння (5.1) чи ядра EMBED Equation.3 , а кожний ненульовий розв′язок цього рівняння називається власною функцією, що відповідає характеристичному числу λ.

Зауважимо, що характеристичні числа EMBED Equation.3 n-го ітерованого ядра EMBED Equation.3 якщо вони існують, є числа EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 − характеристичні числа ядра EMBED Equation.3 , а власні функції цих ядер одні й тіж (із точністю до сталого множника). Дійсно, якщо EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 − відповідно характеристичні числа та відповідні їм власні функції ядра EMBED Equation.3 , то маємо тотожність EMBED Equation.3 , а тому справджуються і наступні рівності

EMBED Equation.3 ,

що й доводить це твердження.

Якщо ядро EMBED Equation.3 неперервне у квадраті EMBED Equation.3 чи квадратично-сумовне в D, при цьому числа a і b скінченні, то кожному характеристичному числу λ відповідає скінченне число лінійно-незалежних власних функцій. Число таких функцій називається рангом характеристичного числа. Різні характеристичні числа можуть мати різні ранги.

Для рівняння (5.1) із виродженим ядром EMBED Equation.3 характеристичні числа є коренями алгебраїчного рівняння

EMBED Equation.3 , (5.2)

де EMBED Equation.3 , степінь якого EMBED Equation.3 . Тут EMBED Equation.3 − визначник однорідної лінійної системи

EMBED Equation.3 (5.3)

EMBED Equation.3 .

Якщо рівняння (5.2) має p коренів EMBED Equation.3 , то інтегральне рівняння (5.1) із виродженим ядром має p характеристичних чисел. Кожному характеристичному числу EMBED Equation.3 , відповідає ненульовий розв′язок системи (5.3).

Інтегральне рівняння з виродженим ядром має не більш ніж n характеристичних чисел та відповідних їм власних функцій.

Однорідне інтегральне рівняння Фредгольма може взагалі не мати характеристичних чисел і власних функцій, чи може не мати дійсних характеристичних чисел і власних функцій.

У випадку довільного (не виродженого) ядра характеристичні числа є нулями визначника Фредгольма, тобто полюсами резольвенти EMBED Equation.3 . Звідси випливає, що інтегральне рівняння Вольтерра EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 , не має характеристичних чисел.

Власні функції визначаються з точністю до сталого множника: якщо EMBED Equation.3 − власна функція, що відповідає деякому характеристичному числу EMBED Equation.3 , то і EMBED Equation.3 , де с −довільна стала, також є власною функцією, яка відповідає тому ж характеристичному числу λ.

Ядро EMBED Equation.3 інтегрального рівняння називається симетричним, якщо виконується умова EMBED Equation.3 .

Для інтегрального рівняння Фредгольма

EMBED Equation.3 (5.4)

із симетричним ядром мають місце наступні теореми.

Теорема 1. Рівняння (5.4) має хоча б одно дійсне характеристичне число.

Теорема 2. Кожному характеристичному числу відповідає скінченне число q лінійно незалежних власних функцій рівняння (5.4), при цьому EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 .

Теорема 3. Кожна пара власних функцій EMBED Equation.3 , які відповідають різним характеристичним числам EMBED Equation.3 , є ортогональною, тобто EMBED Equation.3 .

Теорема 4. В кожному скінченному інтервалі вісі λ знаходиться скінченне число характеристичних чисел. Число m характеристичних чисел, що належать проміжку EMBED Equation.3 визначається нерівністю EMBED Equation.3 .

Якщо ядро EMBED Equation.3 інтегрального рівняння (5.4) є функцією Гріна деякої однорідної задачі Штурма-Ліувілля, то знаходження характеристичних чисел і власних функцій зводиться до розв′язання задачі Штурма-Ліувілля. Покажемо це нижче (див. приклади розв’язування задач).

Предыдущий:

Следующий: