вариант 10

Вариант № 10

1. B 1. Найдите значение выражения  

2. A 1. Известно, что  Выберите наименьшее из чисел.

1) 2) 3) 4) 

3. A 2. В каком случае числа расположены в порядке возрастания?

1) 2) 3) 4) 

4. B 2. Решите уравнение   .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

5. B 3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

 

1) 

А

Б

В

 

 

 

2) 

3) 

4) 

 Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

 6. B 4. Дана арифметическая прогрессия:  Найдите сумму первых десяти её членов.

7. B 5. Найдите значение выражения  при 

8. A 3. Решите неравенство

и определите, на каком рисунке изображено множество его решений

 

1) 2) 3) 4) 9. B 6. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

10. B 7.В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70° . Найдите величину угла OCD.

11. B 8. В треугольнике    угол    прямой,  . Найдите  .

12. B 9. Найдите тангенс угла В треугольника ABC, изображённого на рисунке.

 

13. B 10. Укажите номера верных утверждений.

1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

14. A 4. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

Какой вывод о суточном потреблении жиров 8-летним мальчиком можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки он потребляет 90 г жиров?

1) Потребление в норме.2) Потребление выше рекомендуемой нормы.3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.4) В таблице недостаточно данных.

15. B 11. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наибольшее значение температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 16. B 12. Поступивший в продажу в апреле мобильный телефон стоил 4000 рублей. В сентябре он стал стоить 2560 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с апреля по сентябрь?

17. B 13. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 35 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

 18. B 14. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, фасоли и сушёных белых грибах. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание белков превышает 30%.

*К прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

 

1) какао 2) шоколад 3) фасоль 4) грибы

19. B 15. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной.

20. B 16. Площадь параллелограмма    можно вычислить по формуле  , где   — сторона параллелограмма,   — высота, проведенная к этой стороне (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту  , если площадь параллелограмма равна  , а сторона    равна 3,6 м.

21. C 1 . Решите неравенство 

22. C 2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 15 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего изА, если известно, что он шёл со скоростью, на 2 км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую

остановку.

23. C 3. Известно, что графики функций  и  имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

24. C 4. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

25. C 5. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BMC.

26. C 6. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Решения

19. B 15 № 132744. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной.

Решение.

Вероятность получить пазл с машиной равна отношению числа пазлов с машиной к общему числу закупленных пазлов, то есть .

Ответ: 0,6.

21. C 1 № 314563. Решите неравенство 

Решение.

Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые, разложим на множители:

 

 

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

 

 

Ответ: 

22. C 2 № 152. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 15 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего изА, если известно, что он шёл со скоростью, на 2 км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую

остановку.

Решение.

Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна  км/ч. Тогда скорость пешехода, шедшего из пункта B, равна  км/ч. Время движения пешехода из пункта A до места встречи   ч на полчаса меньше, чем время движения другого пешехода   ч. Составим уравнение:   . После преобразования оно примет вид:    Корни уравнения 6 и -10. Значит, скорость пешехода, шедшего из А, равна 6 км/ч.

Ответ: 6.

23. C 3 № 314727. Известно, что графики функций  и  имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Решение.

Найдём абсциссы точек пересечения:

 

 

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

 

 

Подставив параметр  в уравнение, найдём  координату точки пересечения этих функций:

 

 

Координата  находится путём подстановки координаты  в любое из уравнений, например, во второе:

 

 

Теперь, зная  можем построить графики обеих функций (см. рисунок).

 

 Ответ: (1; 0).

24. C 4 № 102. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Решение.

Опустим радиусы на каждую касательную. Соединим точки A и O. Получившиеся треугольники — прямоугольные, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. По гипотенузе и катету эти треугольники равны, таким образом, мы получили, что угол, лежащий напротив катета равен  Катет, лежащий напротив угла в  равен половине гипотенузы, тогда радиус равен 4.

Ответ: 4.

25. C 5 № 314962. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BMC.

Решение.

Проведём высоту  так, чтобы она проходила через точку  Углы  и равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно,  Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки  и . Таким образом, 

Площадь параллелограмм равна  а площадь треугольника 

 

26. C 6 № 315043. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Решение.

Проведём отрезок  параллельный  вспомним, что точка  — середина  следовательно,  — средняя линия треугольника  значит  Аналогично  — средняя линия треугольника  то есть  Пусть площадь треугольника  равна  

Рассмотрим треугольник  он имеет общую высоту с треугольником  и вдвое большее основание, следовательно его площадь равна Площадь треугольника  равна  и такую же площадь имеет

треугольник  поскольку они имеют одну высоту, проведённую из вершины  и равные основания.

Аналогично площадь треугольника  равна площади треугольника  а площадь треугольника  равна площади треугольника 

Подведём итог:

Отношение площади треугольника  к площади четырёхугольника 

 Ответ: 0,6.

 

 

 

Предыдущий:

Следующий: