вариант 11 для 10 класса

Вариант № 11

B1 В общежитии института в каждой комнате можно поселить четырех человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для поселения 83 иногородних студентов?

Решение.Разделим 83 на 4:

.

Значит, для поселения 83 иногородних студентов необходима 21 комната.

Ответ: 21.

Ответ: 21

B2 На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.Из графика видно, что 15 июля наибольшая температура составляла 21 °C, а наименьшая 8 °C. Их разность составляет 13 °C.

Ответ: 13.

Ответ: 13

B3 Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах.

Решение.Скалярное произведение векторов равно

.

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Найдем длины векторов и :

, .

Тогда справедливо равенство: , откуда и .

Ответ: 45.

Ответ: 45

B4

Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 930 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

Решение.Стоимость поездки на поезде для троих человек будет составлять 930 3 = 2790 руб. Расход бензина на 700 км пути составит 7 раз по 11 литров т. е. 77 литров. Его стоимость 77 18,5 = 1424,5 руб. Стоимость самой дешевой поездки составляет 1424,5 рубля.

Ответ: 1424,5.

Ответ: 1424,5

B5 Решите уравнение .

Решение.Возведём в квадрат обе части уравнения. Получим , откуда .

Ответ: 38.

Ответ: 38

B6 В треугольнике угол равен , . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.так как треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.

.

Ответ: 31.

Ответ: 31

B7 Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.

Решение.Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус его угла. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Поэтому если сторона ромба равна , то

.

Из полученного уравнения , поэтому .

Ответ: 8.

Ответ: 8

B8 Найдите значение выражения .

Решение.Выполним преобразования:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

B9 Найдите значение выражения , если .

Решение.В силу нечетности и периодичности синуса . Далее по формулам приведения имеем:

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

B10 Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Решение.— квадрат со стороной 2, а — его диагональ. Значит, треугольник — прямоугольный и равнобедренный, . Угол равен

Ответ: 45.

Ответ: 45

B11 При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение.По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

Ответ: 0,035

B12 Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением км/ч2, вычисляется по формуле . Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.

Решение.Найдем, при какой скорости автомобиль приобретает ускорение 5000 км/ч2. Задача сводится к решению уравнения при заданном значении расстояния км:

.

Если скорость будет превосходить найденную, то ускорение автомобиля более 5000 км/ч2, поэтому минимальная необходимая скорость равна 100 км/ч.

Ответ: 100.

Ответ: 100

B13 Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где (Па) — давление в газе, — объeм газа в кубических метрах, — положительная константа. При каком наименьшем значении константы увеличение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 27 раз?

Решение.Пусть и – начальные, а и – конечные значения объема и давления газа, соответственно. Задача сводится к решению неравенства , причем :

.

Значит, наименьшее значение константы равно 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

B14 В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.Концентрация раствора равна

.

Объем вещества в исходном растворе равен литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

.

Ответ: 5.

Ответ: 5

C1а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.а) Заметим, что Поэтому уравнение можно переписать в виде откуда Значит, либо откуда либо откуда б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку Ответ: а) б)

Ответ: None

C2 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.

Решение.Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE. Искомый угол равен углу SBE. Треугольник SBE равносторонний, поскольку большая диагональ правильного шестиугольника вдвое больше его стороны: . Следовательно, . Ответ: .

Ответ: None

C3 Решите неравенство

Решение.Решение ищем на множестве:

Пусть тогда , откуда . Значит, С учетом ограничений получаем:

Ответ:

Ответ: None

Предыдущий:

Следующий: