вариант ГИА 28.04-с решениями

1. B 1 № 316366. Найдите значение выражения:

Решение.

Последовательно произведём все действия:

Ответ: 64.

2. A 1 № 316273. На координатной прямой отмечено число a.

 

 Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

1) 2) 3) 4)

Решение.

Заметим, что . Проверим все варианты ответа:

 1) — неверно.

2) — неверно.

3) — верно.

4) — неверно.

Верным является утверждение 3.

Ответ: 3

3. A 2 № 311903. Представьте выражение в виде степени с основанием c.

1) c182) c53) c−294) c−16

Решение.

Преобразуем выражение:

 Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

4. B 2 № 314569. Найдите корни уравнения

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Вынесем общий множитель за скобки:

 

 Ответ: 0;3

5. B 3 № 193088. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

 

1)

2)

3)

4)

 Решение.

Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1

Графику соответствует вариант под номером 1.

Ответ: 1

6. B 4 № 314415. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 378?

Решение.

Первый член равен : . Выберем шаг последовательности: . Сумма последовательности не должна превышать 378 т.е. По формуле суммы арифметической прогрессии имеем:

(a1+an )n/2=( a1+ a1+d(n-1))n/2=(2+n-1)n/2 =n(n-1)/2

n(n-1)/2<378

n(n-1) < 756

(Решая данное неравенство получим , что .По условию требуется сложить числа, начиная с единицы. Таким образом, наименьшая последовательность должна состоять из 29 чисел.

Ответ: 29

7. B 5 № 311758. Найдите значение выражения при

Решение.

Упростим выражение:

Подставим в полученное выражение значение

 

 Ответ: 1

8. A 3 № 311417. Решите неравенство  .

1) 2) 3) 4)

Решение.

Решим неравенство:

 Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

9. B 6 № 311458. Диагональ  AC  параллелограмма  ABCD  образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.

Решение.

Так как угол А равен 75°, а сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°, больший угол параллелограмма равен 105°.

Ответ: 105

10. B 7 № 311681. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Решение.

Проведем OB — радиус окружности с центром O. Так как OB — радиус , проведенный в точку касания, то , таким образом треугольник AOB прямоугольный.

 По теореме Пифагора: Таким образом,

 Ответ: 5

11. B 8 № 311332. В равнобедренном треугольнике . Найдите , если высота .

Решение.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание делит основание пополам, то есть делит пополам. Тогда получаем прямоугольный треугольник с двумя известными катетами и гипотенузой которого является искомая По теореме Пифагора найдем

 

 Ответ: 13

12. B 9 № 311495. Найдите тангенс угла    треугольника  , изображённого на рисунке.

Решение.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник ABC — прямоугольный, поэтому

 Ответ: 1,5

13. B 10 № 315019. Укажите номера верных утверждений.

1) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2) Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

3) Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.

 Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию» — верно, по свойству равнобедренного треугольника.

2) «Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника» — неверно; верным будет утверждение: «Диагонали любого ромба делят его на 4 равных треугольника».

3) «Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса» — верно по определению внешних и внутренних точек круга.

 

Ответ: 1; 3

14. A 4 № 316223. В таблице приведены размеры штрафов за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации, установленных на территории России на 1 января 2013 года.

 Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 175 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 110 км/ч?

1) 100 рублей2) 300 рублей3) 1000 рублей4) 2500 рублей

Решение.

Найдём превышение скорости автомобиля: 175 − 110 = 65 км/ч. Из таблицы находим,что такому превышению скорости соответствует штраф в размере 2500 рублей.

 Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

15. B 11 № 316287. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наименьшее значение температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

Решение.

Из графика видно, что наименьшая температура составила −14°С.

 Ответ: -14

16. B 12 № 173. Пылесос, который стоил 3500 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке этого пылесоса покупатель отдал кассиру 5000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение.

Стоимость пылесоса равна 3500 − 0,1 · 3500 = 3150 руб. Значит, сдача с 5000 рублей составит 1850 рублей.

Ответ: 1850

17. B 13 № 132766. Площадь прямоугольного земельного участка равна 9 га, ширина участка равна 150 м. Найдите длину этого участка в метрах.

Решение.

Переведем площадь участка в квадратные метры: 9 га = 90 000 м2.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Поэтому, длина участка равна: 90 000 : 150 = 600 м.

Ответ: 600

18. B 14 № 187. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей.

Какое из следующих утверждений неверно?

1) Пользователей из Беларуси меньше, чем пользователей из Украины.

2) Пользователей из России больше 4 миллионов.

3) Пользователей из Украины больше четверти общего числа пользователей.

4) Пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Финляндии.

 В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Разъясним каждый вариант ответа.

 1) Очевидно, что пользователей из Беларуси меньше, чем пользователей из Украины.

 2) Видно, что пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9/2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.

 3) Сектор в четверть диаграммы отсекается углом в 360°/4 = 90°. Очевидно, что угол, отсекающий сектор «Украина» меньше 90°, значит, меньше четверти пользователей сети — из Украины.

 4) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Финляндия» включена в «Другие страны», имеем: пользователей из Белоруссии больше, чем пользователей из Финляндии.

Ответ: 3

19. B 15 № 132728. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение.

Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое их них, то есть таких чисел

Вероятность того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5 определяется отношением количества трехзначных чисел, делящихся на 5 ко всему количеству трехзначных чисел:

Ответ: 0,2

20. B 16 № 316381. Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле где — масса тела (в килограммах), — его скорость (в м/с), — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а — ускорение свободного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите (в килограммах), если а

Решение.

Выразим массу: Подставим значения переменных:

 

 Ответ: 7

21. C 1 № 311575. Упростите выражение:   .

Решение.

Имеем:

 Ответ: 2,4.

22. C 2 № 314487. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение.

Пусть S км — расстояние, на которое от лагеря отплыли туристы. Зная, что скорость течения реки — 3 км/ч, а скорость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за которое они проплыли туда и обратно, составляет Учитывая, что они были на стоянке 2 часа и вернулись через 6 часов после отплытия можно составить уравнение:

 

Отсюда S = 18 км.

 Ответ: 18 км.

23. C 3 № 314794. При каком значении р прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении

Решение.

Найдём абсциссы точек пересечения:

 

 Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

 

 Подставив параметр в уравнение, найдём координату точки пересечения этих функций:

 

 Координата находится путём подстановки координаты в любое из уравнений, например, в первое:

 

 Теперь, зная можем построить графики обеих функций (см. рисунок).

 

 Ответ: (2; 0).

24. C 4 № 311716. Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы, проведённой к стороне , если угол равен 26°, угол равен 154°, .

Решение.

Обозначим точкой середину стороны . Продлим на свою длину за точку до точки . Четырёхугольник — параллелограмм, потому что и . Значит,  = 154°, поэтому четырёхугольник — вписанный. Тогда .

Ответ: 9.

25. C 5 № 314978. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CKD.

Решение.

Проведём высоту так, чтобы она проходила через точку Углы и равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки и . Таким образом,

Площадь параллелограмм равна а площадь треугольника

 

 26. C 6 № 314988. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

Введём обозначения, приведённые на рисунке. Лучи и — соответственно биссектрисы углов и , поскольку эти лучи проходят через центры вписанных окружностей. — середина основания следовательно Углы и равны друг другу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и — они прямоугольные и имеют равные углы и , следовательно эти треугольники подобны:

 

 Отсюда следует, что радиус вписаной окружности:

 Ответ:

Предыдущий:

Следующий: