вариант егэ 28.04

B 1Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3700 рублей. До установки счётчиков Александр платил за воду (холодную и горячую) ежемесячно 700 рублей. После установки счётчиков оказалось, что в среднем за месяц он расходует воды на 230 рублей при тех же тарифах на воду. За какое наименьшее количество месяцев при тех же тарифах на воду установка счётчиков окупится?

B 2В сентябре 1 кг винограда стоил 96 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

B 3 На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней выпадало более 2 миллиметров осадков.

 

B 4 В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

Наименование продукта

Тверь

Липецк

Омск

Пшеничный хлеб (батон)

11

12

14

Молоко (1 литр)

26

23

25

Картофель (1 кг)

9

13

16

Сыр (1 кг)

240

215

260

Мясо (говядина) (1 кг)

260

280

300

Подсолнечное масло (1 литр)

38

44

50

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

B 5Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона параллелограмма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

B 6В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

B 7Найдите корень уравнения .

B 8 В треугольнике АВС угол С равен 90°, синус внешнего угла при вершине Аравен 7/25, АВ=5. Найдите АС.

B 9На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.

 

10. B 10 № 27094. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

B 11Найдите значение выражения: .

B 12 Плоский замкнутый контур площадью м находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где – острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, Тл/спостоянная, – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м). При каком минимальном угле (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать В?

B 13 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

B 14По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй – длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

B 15 Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: .

 

Ответ: 36.

C 1Решите уравнение . Укажите его корни, принадлежащие отрезку

Решение.

Сделаем замену , получим квадратное уравнение корнями которого являются числа и Уравнение не имеет решений, а из уравнения находим искомые корни:

 

или ; .

Найдем корни, принадлежащие отрезку Решим неравенства:

 

или ;

 

 

Соответствующие найденным значениям параметров корни: и .

 

Ответ: . Заданному отрезку принадлежат корни и .

C 2Отрезок KM ― диаметр основания конуса, отрезок AK ― образующая этого конуса, которая в 3 раза больше радиуса его основания. Хорда основания ML составляет с прямой KM угол 45°. Через AK проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой ML. Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

Решение.

Пусть отрезок ― хорда основания, параллельная Тогда треугольник окажется искомым сечением, так как плоскость содержит прямую и прямую параллельную . Опустим перпендикуляр на прямую Согласно теореме о трех перпендикулярах также является перпендикуляром к значит, Высота треугольника лежит в плоскости , следовательно, и , значит,

Далее находим:

1) из условия ;

2) из прямоугольного треугольника

3) из прямоугольного треугольника

4) из прямоугольного треугольника

а)

б)

Ответ:

C 3Решите систему неравенств

Решение.

1. Решим первое неравенство системы:

 

 

Рассмотрим два случая. Первый случай:

 

откуда

 

Второй случай:

 

откуда

 

Решение первого неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы:

 

Решение второго неравенства исходной системы:

3. Пересекая промежутки, получаем решение системы неравенств.

Ответ:

C 4В треугольник вписана окружность радиуса касающаяся стороны в точке причём

а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон и в точках и Найдите площадь треугольника если известно, что и

Решение.

а) Пусть — центр вписанной окружности треугольника

 

 

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, — биссектриса угла Треугольник прямоугольный и равнобедренный, поэтому Следовательно,

б) Обозначим По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, и По теореме Пифагора или Из этого уравнения находим, что Тогда

 

 

Следовательно,

 

 

Ответ:

C 5Найдите все значения при каждом из которых неравенство выполняется для всех

Решение.

Рассмотрим функцию Эта функция возрастает на промежутке и убывает па промежутке

Исходное неравенство имеет вид значит, график функции на отрезке должен находиться в пределах горизонтальной полосы:

Отрезок не должен лежать на участке монотонности функции иначе приращение на отрезке длины будет не меньше поэтому ее график не поместится в полосе ширины следовательно, откуда .

Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо при , либо при .

Наименьшее значение функции на отрезке достигается при . Получаем систему:

 

 

откуда .

Ответ:

C 6 Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел и .

Решение.

Если число p является делителем числа , то оно является также и делителем числа . Но если число p является общим делителем чисел и , то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа

 

.

Аналогично получаем:

 

1) число p является общим делителем чисел и , значит, p является делителем числа

 

;

 

2) число p является общим делителем чисел и , значит, p является делителем числа

 

;

Число 105 имеет ровно три различных простых делителя — 3, 5 и 7. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 3, 5 и 7 является общим делителем чисел и .

 

Если , то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 5, то число 5 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 7, то число 7 является общим делителем данных чисел.

 

Замечание. Последние два условия могут быть объединены в одно: если число k кратно 35, то числа 5 и 7 являются общими делителями данных чисел.

 

Ответ: 3, 5, 7.

Предыдущий:

Следующий: