вариант егэ от 30.04

B 1 На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 35 рублей за штуку. У Вани есть 160 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

B 2 Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

B 3 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 2003 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

B 4Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 930 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

B 5 Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных клеток равны .

B 6 . Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

B 7 Найдите корень уравнения .

B 8 В треугольнике угол равен 90°, косинус внешнего угла при вершине равен , . Найдите .

B 9  На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f(8).

 

B 10  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

 

B 11 Найдите значение выражения , если , а .

B 12 Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 8 километров? Ответ выразите в километрах.

13. B 13 № 27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

B 14 Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

B 15 Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

C 1 а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

C 2 Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна Плоскость параллельная плоскости касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна Найдите площадь сечения большего шара плоскостью

Решение.

Решение.

Сечение шара плоскостью — круг. Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов.

Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями и дано на рисунке.

— радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью тогда — площадь сечения меньшего шара плоскостью .

— радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью тогда — площадь сечения большего шара плоскостью

— радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью Параллельные прямые и перпендикулярны прямой Из прямоугольных треугольников получаем: откуда

Площадь сечения большего шара плоскостью

Ответ: 10.

C 3 Решите неравенство

C 4 Четырехугольник описан около окружности и вписан в окружность. Прямые и пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если известно, что и радиусы окружностей, вписанных в треугольники и равны соответственно и .

Решение.

Первый случай.

Центры и окружностей, вписанных в треугольники и соответственно, лежат на биссектрисе угла . Окружность, вписанная в четырехугольник , является также окружностью, вписанной в треугольник и вневписанной окружностью треугольника .

 

Четырехугольник вписан в окружность, следовательно . Но , откуда . Так как треугольники и имеют еще общий угол , они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1)

2) , где  — полупериметр треугольника равный длине отрезка как сумма отрезков касательных проведенных из одной точки.

3) из прямоугольного треугольника находим , откуда .

Подставляя найденное в формулу площади треугольника , окончательно получаем

 

.

Второй случай.

Отличается от первого расположением точки левее точек и . В этом случае и в рассуждении они и треугольники и должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае — меньший из двух треугольников, а радиус вписанной в него окружности . Значит

где — полупериметр треугольника равный отрезку При этом, как и в первом случае, Таким образом

 

Ответ: или

 

C 5 Найдите все значения параметра при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре решения.

Решение.

Преобразуем данную систему:

 

Сделав замену переменной , получаем систему

 

Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат

 

График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат соответственно на осях и а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом (см. рисунок).

 

Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию

 

.

В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 и 4, откуда

 

, .

Во втором случае получаем , откуда

 

или .

Ответ:

C 6 Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −3, −1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?

 б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

 

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Решение.

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть −3. Наибольшее число в наборе 9 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 2 и 7 дают в сумме 9. Значит, были задуманы числа − 3, 2 и 7.

 

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно к нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k  + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

 

Поскольку на доске выписано ровно 6 нулей, среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано пять или меньше (ненулевых) чисел. Среди них есть положительные и отрицательные. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Подумаем, сколько может быть одинаковых среди всевозможных сумм задуманных чисел одного знака. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа одного знака дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают; четыре различных задуманных числа одного знака дают 15 сумм, среди которых не может быть трёх одинаковых. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более четырёх. Таким образом, если было задумано не более пяти различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более четырёх нулей. Если были задуманы числа −5 ; −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно шесть нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 6.

 

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1,2,3.

 

Ответ: а) −3, 2, 7; б) 6; в) нет.

Предыдущий:

Следующий: