олимпиада 9 класс

Олимпиада “1000 задач” от

http://1000zadach.info/

9 класс

1) Пусть a, b, c — попарно различные числа. Докажите, что выражение  a2(c – b) + b2(a – c) + c2(b – a)  не равно нулю.

2) Докажите, что при выполняется неравенство

3) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 8 медиана, проведенная к боковой стороне равна 6. Определить основание треугольника.

4) Можно ли расставить по кругу числа 1,2,3,…,60 в таком порядке, то бы сумма любых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма любых двух чисел, между которыми находятся 2 числа, делилась на 3,…, сумма любых двух чисел, между которыми 6 чисел, делилась на 7?

5) Докажите, что если , то .

6) Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

7) В шестиугольнике все углы равны. Доказать, что

8) По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

9) На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M . Прямые, проведенные через M перпендикулярно диагоналям BD и AC , пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB , QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение BM/MC ?

Предыдущий:

Следующий: